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so bleibt eCa, während w negativ wird, in welchem
Falle die Lasten P einen Zug und die Lasten R einen
Druck hervorbringen. In den beiden ersten Fällen erzeugen
die Lasten Q einen Druck, so lauge q>lU+w,
d. h. so lange sie zwischen Belastungsscheide und Scheitel
wirken, im letzten Falle, für welchen w negativ, und
q> l/ 3 — w wird, erzeugen sämmtliche Lasten Q einen
Druck in der betrachteten Diagonale.
Hiernach sind drei Fälle zu unterscheiden, welche
verschiedene Werthe für Y x bedingen.
Erster Fall. Der Drehpunkt D liegt links von
E. Da in diesem Fall e>a ist und w positiv bleibt,
so ist, wenn der rechts von der Belastungsscheide gelegene
Theil von Q mit dem Abstande q r seiner Schwerlinie vom
Stützpunkteil mit Q r bezeichnet wird, die grösste Zugspannung
der Diagonale
115) . Y v max= ^ ^Q r a| g +w— q r j+Rr. 2 ^ w j,
welche unter den zu Gleichung 111 entwickelten Bedingungen
ihren grössten Werth erreicht.
Die grösste Druckspannung der Diagonale ergiebt
sich, wenn der links von der Belastungsscheide
gelegene Theil von Q mit dem Abstande qi seiner Schwerlinie
vom Stützpunkte B mit Q\ bezeichnet wird, aus
11G) Y v min=- " e [Pp( e — a)+Qia|qi — w|],
welche ihren grössten negativen Werth unter den zu Gleichung
113 angegebenen Bedingungen erreicht.
Zweiter Fall. Der Drehpunkt D liegt zwischen
E und F. Da in diesem Fall e<a wird und w positiv
bleibt, so ist, wenn Q v und q t die frühere Bedeutung
haben, die grösste Zugspannung der Diagonale
117) Y v max =^ e ^Pp(a—e)+Q r a^~ + w—qrj+Rr-^y^J
welche ihr absolutes Maximum erreicht, wenn P, Q, R,
p und r seinen grössten, q T seinen kleinsten Werth annimmt,
d. h. wenn die grösste Last P sich dem Schnitt,
die grösste Last Q r und R sich dem Scheitel möglichst
nähert, wozu nach Gleichung 19 die Bedingung kommt
P(a—e)+Q 1 -a-R-~™> 0.
Die grösste Druckspannung der Diagonalen ergiebt
sich, wenn Qi und q\ ihre frühere Bedeutung behalten,
aus
118) . . Y v min = ——Qia^qi—^ — wj,
welche ihren grössten negativen Werth unter sonst gleichen
Bedingungen erreicht, wenn Q x und q x ihre grössten Werthe
annehmen, d. h. wenn die grösste Last Q\ dem Schnitte
sich möglichst nähert.
Dritter Fall. Der Drehpunkt D liegt rechts von
F. Da in diesem Fall e<a und w negativ wird,
so ist aus Gleichung 114 die relativ grösste Zugspannung
119) ... . Y v max = ^ Pp (a — e),
welche ihren höchsten Werth unter übrigens gleichen Umständen
dann annimmt, wenn die Last P ihr Maximum
erreicht und sich dem Schnitte möglichst genähert hat.
Die relativ grösste Druckspannung der Diagonale
ergiebt sich alsdann wegen q>l/i—w aus
120) Y T min = — ^ j (ta|q — * +wj+ Rr-"j W J,
welche für die grössten Werthe von Q, R, q und r ihren
höchsten negativen Werth erreicht, also wenn sich die
grösste Last Q und R bezw. dem Schnitt und dem Scheitel
möglichst nähert.
ß) Bestimmung der Spannungen durch die Eigengewichtsbelastung.
Da hierbei alle Lasten P, Q und R gleichzeitig
wirken, so ergiebt sich aus Gleichung 116 die Eigengewichtsspannung
einer Diagonale
121 )Y t = ^-Pp(e-a)—Qa(q—1/ 2 - w) - Rr • 2 “ W ],
worin die Werthe e, a und w nach Massgabe obiger drei
Fälle einzuführen, P, Q und R meist als gleichförmig
vertheilte Lasten in Rechnung zu ziehen und demgemäss
die zugehörigen Abstände p, q und r ihrer Resultanten
leicht zu bestimmen sind. Nur im dritten Fall ist —w
statt w zu setzen.
Hiernach erhält man, unter Beibehaltung der früheren
Bezeichnungen, die Eigengewichtsspannungen der Diagonalen
im ersten Fall
122) Y e = Pp (e — a) — Qa(q—1/ 2 —w)+Rr • ^ J
im zweiten Fall
123) Y e = 1 fPp(a— e) — Ra(q— 1/*— w)+Rr“pl
und im dritten Fall
124) Y e =^ e j^Pp(a—e)—Qa(q —l/2+w) —Rr-^pJ-Die
grössten Gesammtspannungen der untersuchten
Diagonale ergeben sicli dann aus
125) . Ymax=Y T max+Ye und Ymin = Y v niim-Y e .
9. Die Grenzspannungen in den Vertikalen des
Mittelträgers.
cc) Bestimmung der Grenzspannungen durch die Verkehrsbelastung.
Bezeichnet F v die von der Verkehrsbelastung in
einer beliebigen Verticalen erzeugte Spannung, v deren
Hebelsarm in Bezug auf den Durchschnittspunkt I) der
beiden mitdurchschnittenen Gurtstücke als zweckmässigsten
Drehpunkt, um welchen sie links dreht, so ergiebt sich,
unter Hinweis auf Fig. 8, aus der Momentengleichung
— V v v+ a M= 0, worin AM" den durch Gleichung 18 dargestellten
allgemeinen Werth besitzt, die Spannung der
Vertikale
126) V v — ~ e | Pp(e — a) + Qa(q—|-—wj - Rr •
Da die zweckmässigsten Drehpunkte der Verticalen, wie
man sich leicht überzeugt, dieselbe Lage haben, wie
diejenigen der mit ihrem Fasse zusammentreffenden, in
dem nächstfolgenden Felde befindlichen Diagonalen, so
sind hier dieselben, unter 8 näher bezeichneten, drei Fälle
zu unterscheiden, welche verschiedene Werthe für F v bedingen
und in welchen die unter 18 betrachteten Belastungen
Zug statt Druck und Druck statt Zug erzeugen.
Erster Fall. Der Drehpunkt D liegt links vonF.
Behält man die früheren Bezeichnungen bei, so ergiebt
sich aus Gleichung 126 die relativ grösste Zugspannung
127) V T max=^^Pp(e —a) + Q t a^qi—~ --wjj,
welche ihren höchsten Werth unter den zu Gleichung 116
angegebenen Bedingungen erreicht. Analog ergiebt sich
die grösste Druckspannung der untersuchten Verticale
128) Vvmin = — + w-q r )+Rr• 2 pJ,
welche unter den zu Gleichung 115 angegebenen Bedingungen
ihren grössten negativen Werth annimmt.
Zweiter Fall. Der Drehpunkt D liegt zwischen
E und F. Behält man die früheren Bezeichnungen bei,
so ergiebt sich aus Gleichung 126 die relativ grösste
Zugspannung
129) . . . V v max=- e Qia^qi — w),
welche ihren grössten Werth unter sonst gleichen Umständen
für die grössten Werthe von Qi und q x , d. h. wenn
die grösste Last Qi sich dem Schnitte möglichst nähert,
erreicht. Die grösste Druckspannung der Verticale
I erhält man analog
130) V v min = — ^ [ Pp(a — e)+Q r a| ^ +w— q r j
, D 2aw~f
+Rr- j |,
welche unter den zu Gleichung 117 aufgestellten Bedinj
gungen ihren grössten Werth annimmt.
