Zielsetzung und Möglichkeiten der Berechnung

Das Ziel einer Hängenetzberechnung ist die Bestimmung
 derjenigen Form, welche unter Eigengewicht
von einem streng gleichmaschigen Netz eingenommen
wird, Aus dieser Form können die für die Fertigung
erforderlichen Zuschnittsdaten entnommen werden,
denn sie entspricht einer idealisierten, fehlerfreien
Hängenetzfigur.

Das Netz des mathematischen Modells setzt sich -
analog zum mechanischen Modell - aus Stabelementen
zusammen, die in den Knoten gelenkig miteinander
verbunden sind; in den Knoten können also weder
Biegung noch Torsion Ubertragen werden. Die Stabelemente
 werden steif, d.h. ohne elostische Dehnung
angenommen. Das Eigengewicht des Netzes wird als
Einzellast in jedem Knoten aufgebracht.

Berechnungsansätze:

Die Grundgleichungen für eine statische Berechnung
der Hängeform resultieren aus der Gleichgewichtsbedingung
 in jedem Knoten. Diese Gleichungen können
für einen Knoten i irgendwo im Netz wie folgt geschrieben
 werden:

LU nn JEEP
lg 5a * Ip 4 Sg * Pix}
A BI LN Yh Tg
la Ip ic lg
LI] Z; 72 2; -?7| 2; -Zm
ra Tt x Tc Pz = 0

Hierin bedeuten x, y, z Koordinaten, s Stabkräfte,
| Stabldngen, p äußere Belastung (z.B. Eigengewicht)

Wird (1) für jeden Netzknoten aufgestellt, so entsteht
bein Netzknoten ein System von 3n Gleichungen.

Da Stabkräfte und Knotenkoordinaten der Hängeform
in der Regel nicht bekannt sind, kann das System (1)
nicht eindeutig gelöst werden; es liegen mehr Unbekannte
 als Rechengleichungen vor. Man erhält aber ein
eindeutiges System, wenn zusätzliche geometrische
oder statische Bedingungen zwischen den Unbekannten
gefordert werden,

Bei Hängenetzen wird als geometrische Bedingung gefordert,
 daß die konstante Länge jedes Stabelements im
Netzinneren eingehalten wird.

Die zusätzliche Gleichung lautet hier z.B. für den
Stab a

L

Vix x 02 ty; -y; Ve (2-2; 1 (2)

Da in (1) und (2) nichtlineare Funktionen der Unbekannten
 auftreten, ist das entstehende Gleichungssystem
 nichtlinear und kann zur Bestimmung von x, y,
z und s nur iterativ, ausgehend von Niherungswerten
fur die Unbekannten nach Methoden der numerischen
Mathematik gelöst werden.

Näherungswerte für die Koordinaten können zum
Beispiel einer Modellmessung entommen werden, sie
können aber auch rein rechnerisch erzeugt werden.

Gibt man nämlich in (1) die Kraft-Längen-Verhältnisse
5q Sp
— = —
a Qa > Ip 9b
usw. , sog. Kraftdichten, fest vor, so entsteht ein
lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten
 Knotenkoordinaten. Erfahrungsgemäß können
für diese lineare Berechnung konstante q-Werte für das
gesamte Netzinnere vorgegeben werden.
Die Berechnung gliedert sich wegen der Nichtlinearität
von (1) und (2) in 2 Teile:
1. Ermittlung von N&herungswerten durch lineare Berechnung
 einer Hangeform mit Kraftdichten q oder
Messung der Knotenkoordinaten am Modell
2. nichtlineare Berechnung von Knotenkoordinaten
und Kräften der Hängeform.

Im Fall der Multihalle Mannheim war bereits ein Modell
 gebaut, das zur Beschaffung von Näherungskoordinaten
 verwendet werden konnte ,

Target and Possibilities of the Calculation

A computation of a suspended net aims to determine the
form which a strictly uniform-mesh net assumes under its
own dead weight. From this form it is possible to take
the pattern data required for the production, because
it corresponds to an idealized figure of a suspended net,
without any errors.

The net of the mathematical model is = analogously to
the mechanical model - made up of rod elements which
are flexibly linked with one another by the knots.
Hence it is impossible to transfer to the knots curves or
deformations. The rod elements are considered rigid,
e.g. without any flexible stress. The dead weight of the
net enters each knot as an individual load.

Initial Computations

The basic equations for a static computation of the
suspended form are the result of the equilibrium condition
of each knot. These equations for any knot "i" anywhere
 in the net can be described as follows:

x =
2 5 L m
„> ——  Ss4%° ss
b ge Stk HN LS or
: \ Yi =
5 oy b AN
i Zi -2Zk le I Py
on To zi -12 ‘ vn
nt + A
= lL. oe =
a sd Piz =0

where x, y, z = coordinates, s = rod forces, | = rod
length, p = external load (e.g. dead weight).

If (1) is assumed to be valid for each knot of the net, a
system of 3n eauations is formed with n net knots.

a7,
re