Full text: Das Gesetz der kleinen Zahlen

Erstes Kapitel. 
§ 1. 
Bezeichnet p die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines bestimmten 
Ereignisses A und q = 1—p die Wahrscheinlichkeit des Nichtein 
tretens von A bei einem Versuch, so stellt 
(1) 
i (n — 1) • • • (n — x -p 1) 
1 • 2 • • ■ X 
pc gn- 
die Wahrscheinlichkeit des «maligen Eintretens von A bei n Ver 
suchen dar. 
Läfst man die Zahl n in infinitum anwachsen und p bis auf 
Null herabsinken und zwar so, dafs das Produkt np — m dabei stets 
unverändert bleibt, so wird sich (1) dem Grenzwert 
(2) 
w x 
1 • 2 • • -x 
nähern. 1 ) Die Formel setzt voraus, dafs die Zahl x im Verhältnis zu 
der Zahl n klein ist. 
Die Gröfse m, welche, ihrem Begriff nach, positiv sein mufs, aber 
sowohl eine ganze Zahl als ein echter oder unechter Bruch sein kann, 
drückt die mathematische Erwartung der Zahl der Fälle aus, hei 
denen das Ereignis A unter n Fällen oder Versuchen vorkommt. 1 2 ) 
Die Gröfse m besitzt zugleich die Eigenschaft, mit der ganzen Zahl p, 
welche so zu wählen ist, dafs unter den Wahrscheinlichkeiten 
w 0 ,w l ,w 2 ... die gröfste ist, durch die Ungleichungen bezw. Gleichungen 
m — 1 < p < m 
verknüpft zu sein. Aus (2) erhält man in der That 
(3) w x = 
woraus zu folgern ist, dafs w x so lange anwächst, bis x gröfser als m 
1) Zu vergleichen Poisson, Recherches sur la probabilitö des jugements, 
Paris 1837. n° 81, p. 205—207. 
2) S. Anlage 1, (5). 
v. Bortkewitsch, Gesetz d. klein. Zahlen. 
1
	        

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