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Erstes  Kapitel.  §  4.

bezeichnen  wollen,  ist  offenbar  gleich  obigem  Ausdruck,  dividiert
durch  0:

1  2  e~ am (am) M+1
K o~~  a  1-2  ■■■  M

(1)

In  ganz  analoger  Weise  ergiebt  sich  auf  Grund  der  Formel  (7)
des  §  1  als  Wert  des  mittleren  quadratischen  Fehlers  des  Mittelwertes ­
  in  der  Ausdruck

(2)

Letztere  Formel  besagt,  dafs  der  mittlere  quadratische  Fehler  eines
Mittelwertes,  welcher  aus  mehreren  Versuchsserien  gewonnen  ist,  der
Quadratwurzel  aus  der  Zahl  dieser  umgekehrt  proportional  ist  und  sich
daher  mit  wachsender  Zahl  der  Versuchsserien  der  Grenze  0  nähert.

4.

Im  Vorhergehenden  ist  gezeigt  worden,  in  welcher  Weise  und
mit  welchem  Grad  der  Genauigkeit  der  numerische  Wert  der  mathematischen ­
  Erwartung  von  x  gefunden  werden  kann.  Es  gilt  nunmehr ­
  eine  analoge  Betrachtung  hinsichtlich  des  mittleren  quadratischen
Fehlers  von  x  anzustellen.
Es  giebt  zwei  verschiedene  Methoden,  einen  angenäherten  Wert
der  gesagten  Gröfse  zu  bestimmen,  deren  exakter  Wert,  wie  ihn  die
Formel  (7)  des  §  1  liefert,  wegen  der  Unkenntnis  von  in,  nicht  berechnet ­
  werden  kann.
Die  erste  oder  die  indirekte  Methode  besteht  darin,  in  der
erwähnten  Formel  die  Unbekannte  m  durch  ihren  wahrscheinlichsten
Wert,  also  durch  m',  zu  ersetzen,  und  man  erhält

e  {x)  —  Ym'.

(1)

Die  zweite  oder  die  direkte  Methode  geht  von  der  Begriffsbestimmung ­
  der  Gröfse
«0*0  =  ]/(0  —  w*) 2 w 0  +  (1  —  m) 2 w 1  +  (2  —  nifw 2  +  •  •  •
unmittelbar  aus.  Die  unbekannten  Wahrscheinlichkeiten  w 0 ,  w lf  tv 2  ...
ersetzt  man  durch  ihre  aus  der  Erfahrung  gefundenen  wahrscheinlichsten ­
  Werte  iv 0 ',  w\' t  w 2  .  ..,  welche  sich  in  der  Bezeichnungsweise
des  §  2  so  darstellen:

Als  Ausdruck  des  nach  der  direkten  Methode  berechneten  mittleren
quadratischen  Fehlers  von  x  erhält  man  also