No. 2
Monatsschrift des Württembg. Vereins für Baukunde in Stuttgart.
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wird dieselbe Knickformel, welche im eisernen Brückenbau als
die Rankine’sche Knickformel bekannt ist, erhalten, nämlich
k
1 +0,0001 . —pr
im allgemeinen kann man sagen, dass die Knickgefahr bei
Betoneisensäulen kaum in Betracht kommt, wenn nicht ganz
außergewöhnliche Verhältnisse vorliegen.
Einfache Biegung.
Bei den homogenen Körpern mit konstanten Formänderungs
koeffizienten werden die Biegungsgleichungen unter der Vor
aussetzung abgeleitet, dass die vor der Biegung ebenen Quer
schnitte auch nach der Biegung noch eben sind, obwohl diese
Voraussetzung mit dem Vorhandensein der Schubspannungen un
vereinbar ist, da letztere eine S-förmige Wölbung der Querschnitte
bewirken.
Der Einfachheit wegen kann mit gleichem Recht dieselbe
Voraussetzung bei der Biegung armierter Betonkörper gemacht
werden. Eine Hauptstreitfrage ist die, ob die Zugfestigkeit des
Betons bei der Biegung berücksichtigt werden soll.
Unter den in der Praxis stehenden Ingenieuren ist diese
Frage schon von Anfang an ziemlich entschieden und zwar in
dem Sinn, dass von der Zugfestigkeit des Betons vollständig
abgesehen wird und die Eisen auf der Zugseite bis zur zu
lässigen Zugspannung beansprucht werden. Die Zugspannung
des Betons bleibt ganz unberücksichtigt.
Ich erinnere an die von Koenen im Jahre 1886 gegebene
genäherte Berechnungsweise der Monierplatten, die heute noch
anwendbar ist. Auf dieser gesunden Grundlage ist die Theorie
seither weiter ausgebaut worden, was namentlich durch die Elas
tizitätsversuche möglich geworden ist. Diese Theorie, bei der
die Zugfestigkeit des Betons unberücksichtigt bleibt, wird unter
anderen von Emperger, Christophe und Considere vertreten.
Dem Bestreben, das günstige Verhalten des armierten Betons
theoretisch zu erklären, verdanken eine sehr grosse Anzahl von
Berechnungsmethoden ihre Entstehung. Sie sind meist von theo
retischer, der Praxis ferne stehender Seite ausgegangen. Die
selben berücksichtigen die Zugfestigkeit des Betons; die ältesten
Methoden nehmen Zug- und Druckelastizität des Betons gleich
gross an; später wird der Zugelastizitätsmodul für Beton ge
ringer angenommen, sodann werden für die Dehnungskurven des
Betons Parabeln gesetzt und endlich nach den Considereschen
Versuchen ist die Spannungslinie des gezogenen Betons durch
eine dem Querschnitt parallele Gerade dargestellt worden.
Es ist vorauszusehen, dass mit solchen Annahmen Ausdrücke
erhalten werden, deren Länge vielleicht von den Autoren als
besonderes Merkmal der Genauigkeit und Zuverlässigkeit be
trachtet wird. Für den Konstrukteur bieten diese langen For
meln nichts Verlockendes. Dazu kommt, dass der Ersatz der
Dehnungskurve durch eine Parabel ungenauer ist als derjenige
durch eine Gerade, denn für das Potenzgesetz liegt der Expo
nent m viel näher an 1 als an 2, und man muss den Dehnungs
kurven Gewalt antun, wenn man sie in die Form einer Parabel
pressen will.
Aber abgesehen von alledem bieten diese Berechnungs-
methoden nicht den wünschenswerten Grad von Sicherheit, sie
können geradezu gefährlich werden, wenn das Prozentverhältnis
der Armierung zu gering gewählt wird.
Berücksichtigt man, dass der Beton der Rissebildung aus
gesetzt ist, sei es durch mangelhafte Herstellung oder Unter
brechung während des Betonierens, sei es durch Temperatur
einwirkungen oder zu rasches Austrocknen, so wird man nicht
mit Sicherheit auf die Zugfestigkeit des Betons rechnen wollen.
Tatsächlich besteht keine Sicherheit gegen die Risse im ge
zogenen Beton und es ist z. B. nicht ausgeschlossen, dass bei
Belastungsproben schon früh feine Zugrisse im Beton auftreten,
deren Ursache unbekannt ist. Jedenfalls ist der Zeitpunkt des
Eintretens der Zugrisse nicht mit Sicherheit vorauszubestimmen.
Zieht man ferner in Betracht, dass der Zweck jeder statischen
Berechnung weniger die genaue Ermittlung der in einer Kon
struktion bei irgend einer Belastung auftretenden Spannungen,
als vielmehr der Nachweis eines hinreichenden Sicherheitsgrades
sein soll, so müssen die Zugspannungen des Betons schon aus
dem Grunde ausser Betracht bleiben, weil seine Zugfestigkeit
nur bis zur Elastizitätsgrenze des Eisens reicht, also vor Er
reichung der Bruchlast längst versagt.
Für einen rechteckigen Querschnitt können wir Formeln für
die Dimensionierung ableiten, wenn die Dehnungskurve des Betons
bekannt ist.
In der Figur 6 bedeutet die Linie 0 E die Linie der
Spannungen, die identisch ist mit der Dehnungskurve des
Betons, denn die Zusammendrückungen sind ja proportional den
Ordinaten, während die Abszissen die entsprechenden Druck
spannungen vorstellen.
Auf der Zugseite werden den gemachten Voraussetzungen
gemäss nur die Zugkräfte der Eiseneinlage wirken und zwar
auf die Einheit der Breite reduziert. Die Tiefe unter der Neu
tralaxe bei 0 wird durch die Dehnung bestimmt, welche der an
zunehmenden zulässigen Eisenbeanspruchung entspricht. Die Span
nungsfläche des Eisens ist ein Rechteck von geringer Breite und
sehr grosser Höhe. Nimmt man noch eine zulässige Randspannung
des Betons an, z. B. = 35, so wird dadurch die Spannungs
fläche des Betons nach oben abgegrenzt. Bei reiner Biegung sind
keine äusseren Kraftkomponenten in der Längsrichtung vorhanden;
es müssen sich also im Querschnitt die Zug- und Druckkräfte aus
gleichen oder es ist der Inhalt der Druckfläche gleich dem
Rechteck der Zugkraft. Wird der Abstand des Schwerpunktes
der Eiseneinlage von der Oberkante mit h bezeichnet, so drückt
sich demnach f e in Funktion von h und <> b aus und das Mo
ment M, das gleich dem Inhalt der Druckfläche multipliziert mit
dem Abstand des Schwerpunkts derselben von der Eiseneinlage
ist, wird als Funktion von h 2 erhalten oder h und f e ergeben
sich proportional der Quadratwurzel aus M.
Es kann also nach diesem Verfahren leicht dimensioniert
werden, während es nur durch umständliche Versuchsrechnungen
möglich ist, die Beanspruchung einer bestehenden Konstruktion
zu ermitteln.
Derselbe Weg kann rein analytisch unter Anwendung des
Potenzgesetzes eingeschlagen werden, wobei man wieder die
Plattenstärke und die Eiseneinlage für gegebene Beanspruchungen
proportional der Quadratwurzel aus M erhält.
Anstatt des Potenzgesetzes kann ohne grosse Ungenauig
keit auch Proportionalität zwischen Dehnungen und Spannungen
vorausgesetzt werden, so dass sich die in der Figur 7 dar
gestellte Spannungsverteilung ergibt. Aus der Gleichheit der
Fig. 7.
Biegung beim rechteckigen Querschnitt einfache Aimierung.
x2 + 2.f e .n.x = 2f,.n.h
Zug- und Druckkraft und der Bedingung, dass die Dehnungen
von Beton und Eisen proportional dem Abstand von der neu
tralen Faser sind, ergibt sich für die Berechnung des Abstands x
der neutralen Faser die quadratische Gleichung
x 2 +2f e .nx = 2f e .n.h, wobei n — ■jf*— — 10.
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