No.  2

Monatsschrift  des  Württembg.  Vereins  für  Baukunde  in  Stuttgart.

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wird  dieselbe  Knickformel,  welche  im  eisernen  Brückenbau  als
die  Rankine’sche  Knickformel  bekannt  ist,  erhalten,  nämlich
k

1  +0,0001  .  —prim ­
  allgemeinen  kann  man  sagen,  dass  die  Knickgefahr  bei
Betoneisensäulen  kaum  in  Betracht  kommt,  wenn  nicht  ganz
außergewöhnliche  Verhältnisse  vorliegen.
Einfache  Biegung.
Bei  den  homogenen  Körpern  mit  konstanten  Formänderungskoeffizienten ­
  werden  die  Biegungsgleichungen  unter  der  Voraussetzung ­
  abgeleitet,  dass  die  vor  der  Biegung  ebenen  Querschnitte ­
  auch  nach  der  Biegung  noch  eben  sind,  obwohl  diese
Voraussetzung  mit  dem  Vorhandensein  der  Schubspannungen  unvereinbar ­
  ist,  da  letztere  eine  S-förmige  Wölbung  der  Querschnitte
bewirken.
Der  Einfachheit  wegen  kann  mit  gleichem  Recht  dieselbe
Voraussetzung  bei  der  Biegung  armierter  Betonkörper  gemacht
werden.  Eine  Hauptstreitfrage  ist  die,  ob  die  Zugfestigkeit  des
Betons  bei  der  Biegung  berücksichtigt  werden  soll.
Unter  den  in  der  Praxis  stehenden  Ingenieuren  ist  diese
Frage  schon  von  Anfang  an  ziemlich  entschieden  und  zwar  in
dem  Sinn,  dass  von  der  Zugfestigkeit  des  Betons  vollständig
abgesehen  wird  und  die  Eisen  auf  der  Zugseite  bis  zur  zulässigen ­
  Zugspannung  beansprucht  werden.  Die  Zugspannung
des  Betons  bleibt  ganz  unberücksichtigt.
Ich  erinnere  an  die  von  Koenen  im  Jahre  1886  gegebene
genäherte  Berechnungsweise  der  Monierplatten,  die  heute  noch
anwendbar  ist.  Auf  dieser  gesunden  Grundlage  ist  die  Theorie
seither  weiter  ausgebaut  worden,  was  namentlich  durch  die  Elastizitätsversuche ­
  möglich  geworden  ist.  Diese  Theorie,  bei  der
die  Zugfestigkeit  des  Betons  unberücksichtigt  bleibt,  wird  unter
anderen  von  Emperger,  Christophe  und  Considere  vertreten.
Dem  Bestreben,  das  günstige  Verhalten  des  armierten  Betons
theoretisch  zu  erklären,  verdanken  eine  sehr  grosse  Anzahl  von
Berechnungsmethoden  ihre  Entstehung.  Sie  sind  meist  von  theoretischer, ­
  der  Praxis  ferne  stehender  Seite  ausgegangen.  Dieselben ­
  berücksichtigen  die  Zugfestigkeit  des  Betons;  die  ältesten
Methoden  nehmen  Zug-  und  Druckelastizität  des  Betons  gleich
gross  an;  später  wird  der  Zugelastizitätsmodul  für  Beton  geringer ­
  angenommen,  sodann  werden  für  die  Dehnungskurven  des
Betons  Parabeln  gesetzt  und  endlich  nach  den  Considereschen
Versuchen  ist  die  Spannungslinie  des  gezogenen  Betons  durch
eine  dem  Querschnitt  parallele  Gerade  dargestellt  worden.
Es  ist  vorauszusehen,  dass  mit  solchen  Annahmen  Ausdrücke
erhalten  werden,  deren  Länge  vielleicht  von  den  Autoren  als
besonderes  Merkmal  der  Genauigkeit  und  Zuverlässigkeit  betrachtet ­
  wird.  Für  den  Konstrukteur  bieten  diese  langen  Formeln ­
  nichts  Verlockendes.  Dazu  kommt,  dass  der  Ersatz  der
Dehnungskurve  durch  eine  Parabel  ungenauer  ist  als  derjenige
durch  eine  Gerade,  denn  für  das  Potenzgesetz  liegt  der  Exponent ­
  m  viel  näher  an  1  als  an  2,  und  man  muss  den  Dehnungskurven ­
  Gewalt  antun,  wenn  man  sie  in  die  Form  einer  Parabel
pressen  will.
Aber  abgesehen  von  alledem  bieten  diese  Berechnungsmethoden
  nicht  den  wünschenswerten  Grad  von  Sicherheit,  sie
können  geradezu  gefährlich  werden,  wenn  das  Prozentverhältnis
der  Armierung  zu  gering  gewählt  wird.
Berücksichtigt  man,  dass  der  Beton  der  Rissebildung  ausgesetzt ­
  ist,  sei  es  durch  mangelhafte  Herstellung  oder  Unterbrechung ­
  während  des  Betonierens,  sei  es  durch  Temperatureinwirkungen ­
  oder  zu  rasches  Austrocknen,  so  wird  man  nicht
mit  Sicherheit  auf  die  Zugfestigkeit  des  Betons  rechnen  wollen.
Tatsächlich  besteht  keine  Sicherheit  gegen  die  Risse  im  gezogenen ­
  Beton  und  es  ist  z.  B.  nicht  ausgeschlossen,  dass  bei
Belastungsproben  schon  früh  feine  Zugrisse  im  Beton  auftreten,
deren  Ursache  unbekannt  ist.  Jedenfalls  ist  der  Zeitpunkt  des
Eintretens  der  Zugrisse  nicht  mit  Sicherheit  vorauszubestimmen.
Zieht  man  ferner  in  Betracht,  dass  der  Zweck  jeder  statischen
Berechnung  weniger  die  genaue  Ermittlung  der  in  einer  Konstruktion ­
  bei  irgend  einer  Belastung  auftretenden  Spannungen,
als  vielmehr  der  Nachweis  eines  hinreichenden  Sicherheitsgrades
sein  soll,  so  müssen  die  Zugspannungen  des  Betons  schon  aus
dem  Grunde  ausser  Betracht  bleiben,  weil  seine  Zugfestigkeit
nur  bis  zur  Elastizitätsgrenze  des  Eisens  reicht,  also  vor  Erreichung ­
  der  Bruchlast  längst  versagt.
Für  einen  rechteckigen  Querschnitt  können  wir  Formeln  für

die  Dimensionierung  ableiten,  wenn  die  Dehnungskurve  des  Betons
bekannt  ist.
In  der  Figur  6  bedeutet  die  Linie  0  E  die  Linie  der

Spannungen,  die  identisch  ist  mit  der  Dehnungskurve  des
Betons,  denn  die  Zusammendrückungen  sind  ja  proportional  den
Ordinaten,  während  die  Abszissen  die  entsprechenden  Druckspannungen ­
  vorstellen.
Auf  der  Zugseite  werden  den  gemachten  Voraussetzungen
gemäss  nur  die  Zugkräfte  der  Eiseneinlage  wirken  und  zwar
auf  die  Einheit  der  Breite  reduziert.  Die  Tiefe  unter  der  Neutralaxe ­
  bei  0  wird  durch  die  Dehnung  bestimmt,  welche  der  anzunehmenden ­
  zulässigen  Eisenbeanspruchung  entspricht.  Die  Spannungsfläche ­
  des  Eisens  ist  ein  Rechteck  von  geringer  Breite  und
sehr  grosser  Höhe.  Nimmt  man  noch  eine  zulässige  Randspannung
des  Betons  an,  z.  B.  =  35,  so  wird  dadurch  die  Spannungsfläche ­
  des  Betons  nach  oben  abgegrenzt.  Bei  reiner  Biegung  sind
keine  äusseren  Kraftkomponenten  in  der  Längsrichtung  vorhanden;
es  müssen  sich  also  im  Querschnitt  die  Zug-  und  Druckkräfte  ausgleichen ­
  oder  es  ist  der  Inhalt  der  Druckfläche  gleich  dem
Rechteck  der  Zugkraft.  Wird  der  Abstand  des  Schwerpunktes
der  Eiseneinlage  von  der  Oberkante  mit  h  bezeichnet,  so  drückt
sich  demnach  f  e  in  Funktion  von  h  und  <>  b  aus  und  das  Moment ­
  M,  das  gleich  dem  Inhalt  der  Druckfläche  multipliziert  mit
dem  Abstand  des  Schwerpunkts  derselben  von  der  Eiseneinlage
ist,  wird  als  Funktion  von  h 2  erhalten  oder  h  und  f  e  ergeben
sich  proportional  der  Quadratwurzel  aus  M.
Es  kann  also  nach  diesem  Verfahren  leicht  dimensioniert
werden,  während  es  nur  durch  umständliche  Versuchsrechnungen
möglich  ist,  die  Beanspruchung  einer  bestehenden  Konstruktion
zu  ermitteln.
Derselbe  Weg  kann  rein  analytisch  unter  Anwendung  des
Potenzgesetzes  eingeschlagen  werden,  wobei  man  wieder  die
Plattenstärke  und  die  Eiseneinlage  für  gegebene  Beanspruchungen
proportional  der  Quadratwurzel  aus  M  erhält.
Anstatt  des  Potenzgesetzes  kann  ohne  grosse  Ungenauigkeit ­
  auch  Proportionalität  zwischen  Dehnungen  und  Spannungen
vorausgesetzt  werden,  so  dass  sich  die  in  der  Figur  7  dargestellte ­
  Spannungsverteilung  ergibt.  Aus  der  Gleichheit  der
Fig.  7.
Biegung  beim  rechteckigen  Querschnitt  einfache  Aimierung.
x2  +  2.f e .n.x  =  2f,.n.h

Zug-  und  Druckkraft  und  der  Bedingung,  dass  die  Dehnungen
von  Beton  und  Eisen  proportional  dem  Abstand  von  der  neutralen ­
  Faser  sind,  ergibt  sich  für  die  Berechnung  des  Abstands  x
der  neutralen  Faser  die  quadratische  Gleichung
x 2 +2f e .nx  =  2f e .n.h,  wobei  n  —  ■jf*—  —  10.
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