Full text: Mitschrift der Vorlesung zu Ingenieurwissenschaft von [Adolf Hänel] um 1865 (Bd. 25, 1865)

SGefeb, nah weldem [iHG p ändert in Funktion von a. 
Trägt man für die verfhiedenen Werthe von « die ihnen nad Oleis 
Hung 9) entipredenden p als Polarordinaten auf, fo erhält man eine 
Surve, weldhe das SGefebß der Veränderungen der Scheerkräfte bei Dres 
zung der Scheerfuge anfhaulich Ddarftellt. Die Gleichung und Con- 
Aruction diejer Curve wird aber viel einfacher, wenn man die Winkel 
1idht von der Horizontalen, fondern von einer der Adhien der dm aus 
jäbhlt, alfo in Gleichung 9) einfebt: 
= +8 
vorin ß ein al8 neue Bariable eingeführter Winkel ft. Man erhält 
adurch, nach möglidhjter VBereinfadhung und mit Benubßung von Glei- 
Hung 10): 
12) pP= 028. V + (5) 
oder aug, wegen Gleidung 11): 
pP = pm. cos 2ß, 
worin fiir pm immer der pofitive Werth zu nehmen ift. 
Die Curve-felbft ift in Figur 12 aufgetragen. Um ihre Erzeugung 
jur verdeutlichen, ift angenommen, baß der Fahrfirahl fih, von 0 aus- 
zehenb, im Sinne ber am äußeren Kreife eingefOriebenen Nummern 
) bis 8, alfo von links nad rechts, bewegt Habe. Die entfprechende 
Bewegung des die Curve erzengenden Punktes ift durch die Nummern 
und Pfeile an der Curve felbft angedeutet. Man flieht, daß diefelbe 
ms bier congruenten und fYymmetrijhen Neften oder Schleifen befteht, 
»ie Haarweife den pofitiven und negativen Werth,von p entfprechen, 
und beren Symmetrieachfen die Achfen der pm find. Unter Winkeln 
son 450 mit diefen Achten wird jedesmal p beim Zeihenwechlel — 0. 
Sa, 12. 
Unveränderlidhkeit des SGefebes der p. Intereffant ift es, 
aß die Form der Curve Figur 12 unter allen Umfiänden, wie 
zroß aud k und s fein mögen, und‘ folglich für alle nur denkbaren 
Befaftungsweifen und filr ale Punkte eines belafteten Balkens, immer 
biefelbe ift. Nendern kann fih nur die Größe der Curbe, indem diefe 
nah Sleidhung 11) von den Werthen für s und k abhängt, und die 
Lage derfelben, welde nach Sleihung 10) durch das Verhältnif T 
Gebinat if. 
8. 8. 
Normalkraft auf ein beliebig geneigtes Flächenelement 
rechtwinklig zur Biegungsebene, wenn die Normalkräfte 
ber Faferfchichten gleich Null find. 
Allgemeiner Ausdruc. Dan betrachte wieder, wie in 8. 7, 
has breifeitige Prisma ABC, Figur 10, von weldhem das Fläghen- 
element AB, deffen Normalkraft beflimmt werden foll, eine Seitenfläche 
ildet. Eine noch nicht benugte Gleihgewidhtsbedbingung diefes Prisma 
{ die Combonentenaleidhung reGhtwinfkflig zu AB, Nennt man 
n die zu fuchende Normaliraft pro Flädheneinheit (weldhe Pofitiv 
genommen werden {oll, wenn file im Sinne der Figur, alfo 
fpannend wirkt), 
und behält hie Übrigen Bezeichnungen bei, fo ergiebt jene Bedingung: 
ndr—kdy.sina — sdxsina—sdy.cos a = 0, 
woraus, weil dx = dr. cos a und dy = dr. sin « ift: 
n= k.sin2x + 2s , sin« cos a, 
oder 
13) ) n = 8 sin 24 + E (1 — cos 2a). 
Sfr k eine Preffung, fo ift e& negativ zu nehmen; ebenfo die s, 
wenn fie in dem der Figur 10 entgegengefebten Sinne wirken. Erhält 
man fiir n einen negativen Werth, fo ift auch diefe Kraft eine Preffung. 
Marima von n in Funktion von a. Es feien, analog den 
Bezeidhnungen in 8. 7, 
um die größten (oder HMeinften) Werthe von n; und 
an die entfpreenden Werthe von a. 
Aus Gleichung 13) erhält man in bekannter Weife: 
14) tg .2an =, 
melder Öleidhung durch eine Reihe je um 909 verfhiedener Werthe von a 
entfprochen wird. Diefen Ausdruck in Oleihung 13) eingefeßt, welche 
zu® fo geführieben werden fann: 
n = z+ cos 2u {s.tg.20 —$} 
giebt nach möglidfter Vereinfachung: | 
k V k 2 
15) Im 7 + 8 (3) . 
Da das zweite Glied diefes Ausdrucks dem erften mindeftens gleich 
Mt, fo ftimmt das Zeihen von nm mit dem jenes zweiten Öliedes 
überein. Diefes Zeichen ift für je zwei aufeinander folgende Werthe 
bon nm (für welde die an um 909 von einander abweichen) verjdhieden, 
und man erhält fomit abwechfelnd, nämlich 
nach zwei fi unter rechtem Winkel fHneiden- 
den Achfen, ein pofitives oder Spannungsmari- 
mum, und ein negatives oder Prefiungs- 
marzimum, von denen das erfiere oder lebtere 
arößer ift, je nachdem k fpannend (pofitiv) oder 
preffend, (negativ) wirkt. In Figur 13 {ft 
diefe Wirkungsweife der Kräfte nm dur Pfeile 
angedeutet, 
Vergleihung der größten Normalkräfte mit den größ- 
ten Scheerkräften um denfelben Punkt. Aus Oleidung 10) 
und 14) ergiebt fih: 
tg . 2an = — cotg . 2ap, 
woraus hervorgeht, daß die Nichtungen der nm mit denen der pm Win- 
fel von 45° machen. Nach Figur 12 hat man daher fülr die Flächen, 
wo n ein Maximum ift, p = 0. 
Nach Sfleidung 13) und 15) ift: 
nm — - + Pm. 
Das pm ift aljo immer ein arithmetijhes Mittel zwijden den 
beiden Werthen von nm fiir denjelden Punkt. 
Veränderung der NMormalkraft in Funktion der Lage 
ber davon beanfprucdten Fläche, Trägt man die durch Olei- 
Hung 13) gegebenen Werthe von n als Polarordinaten auf, nach 
den Ridtungen, in denen diefe Kräfte wirken, fo erhält man eine Curve, 
Fig. 14, deren Erzeugung (gerade fo wie in Fig. 12) durch die einge- 
jOriebenen Nummern und Pfeile verdeutlich ift. Die Oleihung diefer 
Curve wird am einfachften, wenn man, ftatt a, al® neue Variable den 
von der Richtung des einen (etwa größeren) nm aus gezählten Winkel 
B einführt; wodurch man erhält, nach gehöriger Vereinfachung und mit 
Benußung von Gleichung 14): 
16) asp +(5)'5 
*) BergleiGt man diefen Ausdruck mit 12), fo ergiebt fih ganz 
allgemein 
IE = 
K 
5 +P.
	        

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