Full text: Einladungs-Schrift der K. Polytechnischen Schule in Stuttgart zu der Feier des Geburtsfestes Seiner Majestät des Königs Wilhelm von Württemberg auf den 27. September 1852 (1852)

  
  
  
Vertaufdt man in der Gurvengleihung p mit — 'p, fo bedeutet fie eine Parabel vom ndmlichen Parameter und 
dem ndmlichen Scheitel, nur daß jebt Die vom Scheitel aus gegen die convocave Seite hin verfolgte Richtung der 
Hauptare die entgegengefetste ift. Zwei folde Parabeln mögen Ge genparabeln heißen. 
Durch ähnlidHe Redmumgen wie die früher ausgeführten Iaffen fih mit Hülfe obiger Borbereitung folgende Säße 
erwetfen. 
Läßt man einen Punkt auf einer Parabel P, faufen, und nimmt für jede feiner Lagen die Polare in Beziehung 
auf eine andere Parabel P, deren Are auf die Are der erften fällt, fo umbüllt die Polare eine neue Parabel P‘, und 
biefe leßtere bleibt die nämliche, wenn man die Parabel P mit ihrer Gegenparabel vertaufcht. 
Sind die Parabeln P unb P, congruent, fo ift auch P‘ ihnen congruent. 
Haben die Parabeln P imb P^ einerlei Brennpunkt, und zieht man Durd einen beliebigen Punkt ber P^ eine 
Tangente T und eine Normale N zu ihr, fo liegt der in Bezug auf die P genommene Pol ber T auf N. (AB bes 
fondern Fall findet man, daß zwei confocale Parabeln mit entgegengefeßten Arenrichtungen fid) rehtminfelig fd)neiber.) 
Zieht man aus einem Punkte A einer Parabel P Tangenten an ihre Gegenparabel P, und verbindet die Bes 
rührungspunkte, fo hat man eine Tangente der Parabel P; ibr SBerübrungspunft B fiegt fputmetri[d) mit A gegen die 
gemeinfchaftliche Are. Die Gerade, welche die Berührungspunkte zweier aus B an P, gelegter Tangenten verbindet, 
berührt‘ die P in A. 
Iv. 
1) Gs bleibt nun noch die allgemeine Frage zu erörtern, übrig, welde Relation 3mifdhen den Conftanten in der 
Gleichung einer geraden Linie ftattfinden müffe, damit diefe Gerade die Curve 
Ax? +4 2Bxy + Cy? + 2Dx + 2Ey + F = 0 . . .. (1) 
berithre. ; 
Nimmt man für die Gleichung der Geraden die Form 
mx + ny + ¢ = 0, 
und fragt, in welchem Falle die durch BVerbindung beider Gleichungen jum VBorfchein kommende quadratifhe Gleichung 
zwei gleiche Wurzelwerthe habe, fo erhält man als Antwort die Bedingung 
(CF — E?) m? + 2 (DE — BF) mn + (AF — D?) n° + 2 (BE — CD) me + 2 (BD — AE) ne + (AC — B?) e* —0 
oder in Abkürzung 
Am? + 2Bmn +. Cn? + 2D'me + 2Efne + Fe* = 0. (2) 
Hätte man aber für die Gleidung der Geraden die Form 
See oder Xx + Yy = 1 
gewählt, fo würde die Bedingungsgleichung heißen 
A. pet By Oa, HM nom GEILE D 544 (3) 
oder AX? + 9BKXY 4- (Y: — 2X — SEY + F=0 - (4) 
Der Wintel des Goordinatenfyftems kann dabei jede beliebige Größe haben, 
Denkt man fidy alle in den Teßten Gleichungen vorkommenden geometrifchen Werthe als benannte Zahlen (fo daß 
man von einer Länge fpreden kann, deren Musdrud der umgekehrte Werth einer andern Lange it), fo liegt in der 
Gleichung (4) folgender Sag: SBeweat fid) eine Gerade als Tangente eines Kegelfdnitts und werden 
die umgekehrten Werthe der Stücke, welche jede Lage der Tangente von den A xen eines be: 
[iebigen Goortbinaten(pftema abfdneibet, auf den betreffenben Ayen als Goorbinaten aufge 
  
  
  
  
 
	        

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