Weber die Anwendung der allgemeinen Gleichung einer
fiegelfd)nittetangente.

In ben Lebrbiichern ber anafptijdjem Geometrie findet man für Die Tangente an einer Linie zweiter Ordnung
gewöhnlich nur diejenige Gleichung, weldhe die Coordinaten des Berührungspunkts oder eines außerhalb der Curve gegebenen
 Punktes enthält. Die Aufgabe, „an einen Kegelfchnitt eine Tangente parallel zu einer gegebenen Geraden
zu ziehen‘, fehlt feltfamerweife in manden Büchern gang, und wo fie gelöst vorkommt, wird wenigftens von Der
erhaltenen Gleichung Fein weiterer Gebrauch gemacht. Diefer Sleihung aber [dpt fij eine allgemeinere Bedeutung
abgewinnen, wenn man die Aufgabe felbft etwas anders faßt. Statt mdmlid) eine gegebene Gerade y — mx + k
vorausaufegen und dann zu fragen, welcher Werth in der Gleichung einer ihr Parallelen y = mx + € die Größe c
erhalten müffe, Damit Diefe Parallele eine gegebene Curve berührt, Fann man die Frage fo ftellen: ,Welde Relation
muß zwifhen m und c ftattfinden, wenn eine Durch die Gleichung y — mx + © vorgeftellte Gerade Tangente Der ges
gebenen Curve feyn fol?“ Sat man diefe Relation gefunden und etwa c als Funktion von m ausgedrückt, fo fann
in der Gleichung
y — mx + f(m)
m noch jeden Werth haben; die Gleichung ftellt bie Gejammtbeit aller môgliden Tangenten der
Gutve vor; oder wenn man den Werth m einer ftetigen Aenderung untermirft, bewegt fid) bie Gerade fo, Daß als
ibre Umbüllungslinie die gegebene Gurve erfdeint. So wie man alfo die Gleidung y — b = m (x — a), in welder
a unb b conftant, m aber verdnderlid) ift, als Gleichung eines gewshnlidhen Strahlbiifdyeld auffdffen kann, deffen
Mittelpunft die Goordinaten a,b bat, fo lift {id die Gleidhung y = mx + f(m) als die analptifhe Darftellung des
um eine gegebene Curve befdriebenen Strabibüfdiels (Das Wort in weiterem Sinne genommen) anfehen, Man fann
fie die allgemeine Tangentengleich ung der betreffenden Curve nennen,
Für die analytifhe Behandlung der Kegelfchnittslehre gewährt die Benüßung einer Gleichung von obiger Form
wefentliche Bortheile, Es laffen fid mit ihrer Hülfe-viele auf die Beftimmung von Umhülungscurven bezüglidhe Aufs
gaben elementar Löfen, für welche man gewöhnlich bie Differentialrechnung beizugiehen pflegt. Mande mit den Tan
gentem zufammenhängende Gigenfhaften, welde fidh bei dem Gebraudhe der gewdhnlichen Tangentengleihung mur auf
Umwegen herleiten laffen, fônnen aus ber allgemeinen Tangentengleidhung unmittelbar erkannt werden. Insbefondere
{cheint e8 nicht obme Werth, Daf diefe allgemeine Tangentengleichung von felbft auf die Eriftenz der Brennpunkte.
hinzeigt und pinleitet, mwelde fonft blog durch Definition angekündigt oder durch eine etwas gezwungene Heuriftik. ges
wonnen werden. Für ein Schulprogramm Dbürfte e8 nidht unpaffend feyn, wenn einige ber befannteften Eigen
fhaften der Kegelfhnittslinien auf eine zum Theil von der gewdhulichon Behandlung. abweichende Weife: vorgeführt
werden, Dieß fol im erften Abfchnitt der gegenwärtigen Schrift gefdhehen. In diefem Abfchnitte wird angenommen,
daß von ber gu unterjuchenden Curve nichts weiter bekannt fey als der NMame und die Gleidung, Ji denjenigen
Wahrheiten, die fich aus dem unmittelbaren Anbli der Sleichung ergeben.
In den folgenden Abfdhnitten, welche genauere Bekanntfehaft mit der Theorie Der fegelfd)nitte rene
Pnitpfen fich an die allgemeine Tangentengleidung einige weitere Unterfuchungen an, welche als fernere Beifpiele für
die Verwendbarfeit diefer Gleichung dienen mögen. Doch lag bei ihrer Wahl auch die Nebenabficdht su Grunde, am
gebenden Mathematifern eine Andeutung 3u geben, wie fie, von bekannten Säßen und Gigenjdaften ausgehend , durd
Erweiterung oder Berallgemeinerung oder durch das Verfolgen einer Analogie fich Stoff qu felbftfténdigen Unterfudhungen
holen fönnen. Man wird e8 einer Schulfobrift nicht zum Borwurf machen, wenn fie ihre Lefer nicht einzig unter
den Männern vom Fache fucht, fondern zugleih darauf Rückficht nimmt, daß fie auch den Schülern der Anftalt in
die Hände gegeben wird.