Full text: ARCH+ : Studienhefte für architekturbezogene Umweltforschung und -planung (1968, Jg. 1, H. 1-4)

Beispiele : 
(1.) Endliche Menge der Ziffern: My ={0,1, Jar? } n=10 
(2.) Unendliche Menge der natürlichen Zahlen: 
Mo={1,2,3,... en =» 
(3.) Unendliche Menge der Punkte einer Strecke, 
Die Elemente a. einer Menge M können bestimmte Eigen- 
schaften besitzen, bzw. zwischen solchen Elementen kön- 
nen gewisse Relationen bestehen. Es gelte daher die folgen- 
de 
Definition 3: 
Jede mögliche Beziehung R; zwischen k Elemen- 
ten X1,Xor ++ „1X. € M heisst ein k - stelliges 
Prädikat (der 1.Stufe) in M oder eine k-stellige 
Aussagefunktion . 
In Zeichen: ?; (X11X9r +4 X Yo 
Die X; heissen Variable oder Argumente von R; 
für beliebige a,€ M.Einstellige Prädikate (k = 1) 
heissen Eigenschaften, zwei- und mehrstellige Prä- 
dikate (k 2 2) heissen Relationen in M. 
In der Typentheorie unterscheidet man Prädikate verschie- 
dener Stufe: Prädikate 1. Stufe sind Eigenschaften und Re- 
lationen zwischen Objekten, Prädikate 2. Stufe sind Eigen- 
schaften und Relationen zwischen Prädikaten 1. Stufe,etc, 
Auf diese Spezifizierung soll jedoch im folgenden nicht 
eingegangen werden. 
Beispiele : 
(1.)Menge der natürlichen Zahlen: M} = {1,2,3,...) 
Eigenschaften: Rıcx1) = x} Ist eine Primzahl 
Rx) =Xy ist eine gerade Zahl 
Rz 1 1X) 5X ist grösser als Xp. 
(X1,Xn,Xn) = x ist das Produkt von 
Na 2 s x3 und Xp. 
(2.)Menge der Personen einer Familie: 
Mo 5 {PızPor + Pr} 
Eigenschaften: Rı (x;) = X ist weiblich 
Ro (x,) = X ist Mutter 
R3 (x 1x9) = X ist Geschwister von X» 
Ra (xyrXgrXg) = X und X, sind Eltern 
von Xa- etc 
Definition 4: 
Eine Menge O von über den Elementen a; einer 
Menge M definierter Prädikate Ri heisst Ordnung 
oder Gliederung der Menge M. 
In Zeichen: © ={ RırPor Por ...rRm} ; 
Die Mächtigkeit von O sei m. 
J' 
KANT charakterisiert ein System als nicht bloss "gehäuft" 
das würde dem CANTORschen Begriff der Menge entspre- 
chen, sondern als "gegliedert" ‚als "geordnet" .Die Glie- 
derung oder Ordnung O einer Menge M ist aber gerade 
bestimmt durch die Eigenschaften und Relationen ihrer 
Elemente a, 
Daher gilt folgende 
Definition 5: 
Eine Menge M von Elementen a. ‚die durch eine 
Menge O von Prädikaten R; geordnet wird, heisst 
ein System 5 . 
In Zeichen: S = {m, 0} 
mit M ={a,} ;zi=1,2, ... 0. 
OO AR} A A 
Beispiele: 
(1.)System der natürlichen Zahlen: S; = {M O1} „mit 
My= {12,3} 
O; = {Nachfolger, Primzahl, gerade Zahl, ungerade Zahl, 
Summe , Produkt, Potenz, Teiler, etc.} 
(2.) Planetensystem: 5 = {Mm 0, }, mit 
M, = { Sonne, Venus, Erde, Mars, ..., Pluto, Monde} 
9, = { Länge, Volumen, Masse, Dichte, Zeit, Geschwindig- 
keit, Kraft, Beschleunigung, etc. } 
Durch Berücksichtigung spezieller Eigenschaften der 
Mengen M = {a } und O= {R.} ergeben sich später 
(vgl. III) verschiedenartige Klass’fikationsmöglichkeiten 
der Systeme. 
Es ist sinnvoll, "gleichartige" Systeme wiederum zu einer 
Menge von Systemen zusammenzufassen. Gleichartige 
Systeme liegen dann vor, wenn die Mengen M und O 
beider Systeme elementweise eineindeutig einander zuge- 
ordnet werden können. Eine solche Zuordnung heisst spe- 
ziell ein Isomorphismus, falls gilt: 
Definition 6: 
Gegeben seien zwei Systeme S = {M, O}und 
S' = {m', © } „Gibt es dann eine eineindeutige 
Abbildung f der Elemente aE M auf die Elemente 
aE M/ gilt also für alle a.€ M: f(a,) = aE M', 
wobei aus a. + a; folgt,dass auch f(a,) + f(a;) 
ist,so heisst f ein Isomorphismus von S und S' , 
falls auch eine eineindeutige Abbildung g der 
Elemente fı € O auf die Elemente PR. € O'exi- 
stiert, und gilt: 
(1.)9 (RP) = füralle RE O und RE O' 
(2.)aus R. + R; folgt g.( PR) =R + R; =g (PR) 
(3.)9 (Pybeprar er uX,) )= Pi (Foe) Fbc), FOR) 
für alle R; €o RE O'und alle x.E M, x. € M'. 
Die Systeme S und $' heissen dann isomorph: S = $'. 
ARCH + 1(1968)H2
	        

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